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高阶无穷小前沿信息_o 1 无穷小(2024年12月实时热点)

内容来源：惠生活优选所属栏目：教程更新日期：2024-12-03

高阶无穷小

高数中连续、可导、可微的关系解析在高等数学中，连续、可导和可微是三个非常重要的概念。它们之间的关系错综复杂，但也有一定的规律可循。下面我们来详细探讨一下这三个概念之间的关系。连续与可微的关系 𐟌𑊊首先，连续和可微之间有着密切的联系。在一元函数中，可微函数一定是连续的。这是因为可微意味着函数的增量可以表示为自变量增量的线性主部加上高阶无穷小。具体来说，如果函数可微，那么当自变量增量趋近于0时，函数的增量也趋近于0，这正好满足连续的定义。然而，连续函数不一定可微。例如，一些连续但不可导的函数自然也不可微。所以，连续是可微的必要条件，但不是充分条件。可导与可微的关系 𐟚€ 在一元函数中，可导和可微是等价的。如果函数可微，那么它的增量可以表示为自变量增量的线性主部加上高阶无穷小。当这个线性主部的系数趋于0时，函数在该点可导。反之，如果函数可导，那么它的增量也可以表示为自变量增量的线性主部加上高阶无穷小，这正好符合可微的定义。多元函数中的关系 𐟌 在多元函数中，连续、可导和可微的关系变得更加复杂。首先，连续和可导（偏导数存在）之间没有必然的联系。例如，函数f(x, y) = y^2在点(0, 0)处极限不存在，不连续，但在该点两个偏导数都存在。多元函数中，可微一定连续。如果函数可微，那么它的全增量可以表示为自变量增量的线性主部加上高阶无穷小，这表明函数在该点的变化是连续的。然而，连续函数不一定可微。例如，函数f(x, y) = y^2在点(0, 0)处两个偏导数都存在，但函数在该点不可微。偏导数连续与可微的关系 𐟔„ 在多元函数中，函数某点的偏导数连续，则必然可微。这是因为偏导数连续意味着函数在该点的变化是连续的，而这正是可微的定义。所以，偏导数连续是可微的一个充分条件。具体例子分析 𐟌𐊊例如，函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(0, 0)处连续，但不可微。这是因为当沿y = k趋近于(0, 0)时，函数的极限值与k有关，所以函数在(0, 0)处极限不存在，不连续。又因为f(x, 0) - f(0, 0) = x^2 - 0 = x^2，所以函数在(0, 0)处偏导数存在。另一个例子是函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(0, 0)处两个偏导数都存在，但函数在该点不可微。这是因为当沿y = k趋近于(0, 0)时，函数的极限值与k有关，所以函数在(0, 0)处极限不存在，不连续。总结 𐟓 总的来说，连续、可导和可微是三个相互关联但又有所区别的概念。在一元函数中，可微一定连续，但连续不一定可微；而在多元函数中，情况变得更加复杂。无论是在一元还是多元函数中，偏导数连续都是可微的一个充分条件。希望这篇文章能帮助你更好地理解这些概念之间的关系。

多元函数微分学：从定义到公式详解今天终于攻克了多元函数微分学的部分，真是既有收获又感到挑战。首先，我们引入了方向导数的概念，这有点像是在多维空间中的单位向量。想象一下，在一个有无数个方向的世界里，每个方向上都有分量，但总长度还是单位一，是不是有点奇妙？接下来，我们定义了多元函数的全微分。这个概念在处理高阶无穷小时特别美，用到了根号加平方的形式，确保了x和y同时趋于0。全微分的定义不仅让数学变得更严谨，还让我们能更深入地理解函数的局部变化。对于多元函数来说，连续和可微是360度的，而偏导数只需要水平和竖直的方向。所以，可导并不一定能推出可微与连续，这与一元函数的情况不同。但可微可以推出可导与连续。更有趣的是，即使可导和连续，再加上方向向量，也不一定能推出可微。这些结论在例题中都有详细的解释。例题中有很多值得深入挖掘的地方，比如只关注零点的情况，x等于y的平方，高阶无穷小的处理等等，每一个细节都充满了巧妙的数学逻辑。最后，我们得到了多维方向导数的公式，将偏导数和夹角联系了起来。证明过程中用到了可微的公式，使得整个推导过程简洁而美丽。数学的美，有时候就在这些看似复杂的公式和定义中。

无穷小的那些事儿：高阶、低阶和等价 ### 无穷小的比较 𐟓 无穷小，顾名思义，就是趋近于零的数。但在数学的世界里，无穷小的比较可不是一件简单的事儿。两个无穷小的和、差、积还是无穷小，但它们的商可能会让你大吃一惊。举个例子，当x趋近于零时： lim x^2 / x = 0 lim x / x^2 = ∞ 而 lim sinx / x = 1 这些例子告诉我们，不同的无穷小趋近于零的速度是不一样的，它们的比值的极限也会有所不同。无穷小的分类 𐟓– 高阶无穷小：如果 lim  /  = 0，那么我们说是比高阶的无穷小，记作 = o()。低阶无穷小：如果 lim  /  = ∞，那么是比低阶的无穷小。同阶无穷小：如果 lim  /  = C（C ≠ 0），那么和是同阶的无穷小。特别地，如果 lim  /  = 1，那么和是等价的无穷小，记作 ~ 。 k阶无穷小：如果 lim ( / )^k = C（C ≠ 0），那么是的k阶无穷小。例如，lim ( / )^3 = 2，那么是的3阶无穷小。等价无穷小 𐟔„ 在x趋近于0时，有一些常用的等价无穷小关系： sinx ~ x tanx ~ x arcsinx ~ x arctanx ~ x 1 - cosx ~ x^2 / 2 ln(1 + x) ~ x e^x - 1 ~ x 1 - e^x ~ x 以a为底的(1 + x)对数 ~ x / ln(a) ln(1 + x) ~ x a^x - 1 ~ x ln(a) 根号下(1 + x) - 1 ~ x / 2 1 - 根号下(1 + x) ~ -x / 2 (1 + x)^(1/3) - 1 ~ x / 3 1 - (1 + x)^(1/3) ~ -x / 3 这些等价关系在计算极限和近似计算中非常有用。掌握了这些，你就能更好地理解无穷小的世界了！

大一高等数学知识点全解析，轻松掌握！ 𐟓š 高等数学对于许多同学来说是个不小的挑战，但别担心，这里为你整理了高数常考知识点，帮助你轻松应对！ 𐟔 函数与极限函数定义及性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数、复合函数、函数的运算。初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数。函数的连续性与间断点：重点掌握。闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理（重点）、介值定理及其推论。 𐟚€ 极限极限定义：数列极限和函数极限。极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。无穷小（大）量：定义、无穷小的阶（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小）。求极限的方法：单调有界准则、夹逼准则、极限运算准则及函数连续性、两个重要极限（重点）、无穷小代换（x→0）（重点）。 𐟓ˆ 导数与微分导数定义：f'(x)=lim(f(x)-f(x))/x-x。几何意义：f(x)为曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率。可导与连续的关系。求导的方法：导数定义（重点）、基本公式、四则运算、复合函数求导（链式法则）（重点）、隐函数求导数（重点）、参数方程求导（重点）、对数求导法（重点）。高阶导数：定义及Leibniz公式。微分定义：Ay=f(x+Ar)-f(x)=Ar+o(Ar)，其中Ar与x无关。可微与可导的关系：可微→可导，且dy=f'(x)Ar=f(x)dx。 𐟌€ 微分中值定理与导数的应用中值定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。洛必达法则（重点）。 Taylor公式（不考）。单调性及极值：单调性判别法、极值及其判定定理（必要条件、第一充分条件、第二充分条件）。凹凸性及其判断，拐点。 𐟌𑠥ŽŸ函数与不定积分原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F'(x)=f(x)，则F(x)称为f(x)的一个原函数（重点）。不定积分：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分。基本积分表（P188,13个公式）（重点）。性质（线性性）。换元积分法（重点）：第一类换元法（凑微分）、第二类换元法（变量代换）。分部积分法（重点）。有理函数积分：“拆”、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）。 𐟌ˆ 定积分概念与性质：性质乙（积分中值定理）。微积分基本公式（N-L公式）（重点）：变上限积分、NL公式。换元法和分部积分（重点）：换元法、分部积分法。反常积分：无穷积分、瑕积分。体积：旋转体体积（重点）、平行截面积已知的立体。弧长：直角坐标、参数方程、极坐标。 𐟓– 微分方程概念与性质：了解微分方程的基本概念和性质。掌握常见微分方程的解法，如一阶微分方程、二阶微分方程等。了解微分方程在实际问题中的应用。

大一高数听不懂？这些资料帮你轻松搞定！大一高数听不懂？别担心，直接看这些资料！𐟓š 𐟓– 高等数学上册知识点函数与极限函数定义及性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。反函数、复合函数、函数的运算。初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数。函数的连续性与间断点：重点！函数在x0连续，lim f(x)=f(x0)。极限存在准则：夹逼准则、单调有界准则。无穷小（大）量：定义、无穷小的阶（高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小）。求极限的方法：单调有界准则、夹逼准则、极限运算准则及函数连续性、两个重要极限。导数与微分导数定义：lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)。左导数和右导数：f'(x0) = lim(x→x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)。可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。求导的方法：导数定义、基本公式、四则运算、复合函数求导（链式法则）、隐函数求导数、参数方程求导数、对数求导法。高阶导数：定义、Leibniz公式。微分中值定理与导数的应用中值定理：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。洛必达法则：重点！ Taylor公式：不考。单调性及极值单调性判别法：若f'(x)>0，则f(x)单调增加；若f'(x)<0，则f(x)单调减少。极值及其判定定理：必要条件、第一充分条件、第二充分条件。凹凸性及其判断，拐点：判定定理、拐点定义。不等式证明利用微分中值定理。利用函数单调性。利用极值（最值）。方程根的讨论连续函数的介值定理。 Rolle定理。函数的单调性。极值、最值。凹凸性。渐近线铅直渐近线：lim f(x) = ∞，则x=a为一条铅直渐近线。水平渐近线：lim f(x) = b，则y=b为一条水平渐近线。斜渐近线：lim [f(x) - kx] / (x - x0) = b存在，则y=kx+b为一条斜渐近线。图形描绘不定积分概念和性质：原函数、不定积分、基本积分表（13个公式）。换元积分法：第一类换元法（凑微分）、第二类换元法（变量代换）。分部积分法：重点！有理函数积分：拆分、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）。定积分概念与性质：定义、性质（7条）。性质7（积分中值定理）：函数f(x)在区间[a,b]上连续，则存在c∈[a,b]，使得∫f(x)dx = f(c)(b-a)。

𐟓š高阶与低阶无穷小大挑战！ 𐟌Ÿ同学们，准备好了吗？本周我们迎来数学定向专题考点测试（七），专注于等价无穷小、同阶无穷小、高阶无穷小和低阶无穷小的辨别。𐟔 𐟓测试内容包含2023年和2022年的真题，以及基于真题的衍生题目，确保你能彻底掌握这一考点的分数。记住，这个考点在数学考试中占3分哦！𐟒𐟔让我们一起来看看几个关键点：当x→0时，哪些函数不是x的等价无穷小？当x→0时，哪些数与x是同阶无穷小但不等价？当x→0时，哪些数与x是等价无穷小？当x→0时，哪些数与x是同阶无穷小且等价？ 𐟒᥈륿˜了，熟练掌握4种无穷小的判别方式和等价无穷小公式是关键！现在就开始挑战吧！𐟒ꀀ

《宇哥八套卷》数学二第八套挑战心得终于搞定了《宇哥八套卷》数学二的第八套，感觉整个人都升华了！𐟒ꊊ𐟕’ 用时：3小时这次考试真是又爱又恨。虽然最后一个大题没做完，但整体感觉还是不错的。特别是填空题，简直让人抓狂！𐟘䠤𝆤𙟦�› 为这些难题，我才学到了不少新知识。总的来说，《宇哥八套卷》的难度确实不小，很多题目都很有挑战性。 𐟓– 选择题小技巧：反向思考，别墅靠大海！𐟏ኊ第三题：举反例是关键。等价不一定等价无穷小，b选项显然正确。对于3的选项，要注意反常积分的敛散性。一个是无穷点，一个是具体研究点。举出反例，比如x-1的平方分之一换元，结果是收敛的；而x的平方分之一在1到无穷大区间内是发散的。所以收敛性未知，否定3。第四个选项显然错误，还可能高阶无穷小。第七题：极坐标系转换是关键。直接将极坐标系转换为r和角度的直接坐标系，最重要的是反解角度。然后先积分角度，积分上下限可以消掉分子，积分过程就变得简单了！第八题：矩阵a的平方，特征值也平方。这个题目直接用了矩阵平方和特征值平方的性质，简直完美！这次考试虽然有些遗憾，但总体来说还是收获满满。希望在接下来的备考中，能继续保持这种状态，顺利上岸！𐟎“𐟒

无穷小与无穷大的奥秘 𐟔 大家好！今天我们来聊聊数学中两个非常有趣的概念：无穷小和无穷大。这两个概念在微分和极限的计算中可是大放异彩哦！无穷小的性质 𐟕𕯸‍♂️ 首先，什么是无穷小呢？简单来说，无穷小就是趋近于0的数。有趣的是，有限个无穷小相加或相乘，结果仍然是无穷小。无穷大的倒数则是无穷小，而无穷小的倒数则是无穷大（除了0，因为0没有倒数）。无穷小的比阶 𐟓ˆ 接下来，我们来看看无穷小的比阶。当x趋近于0时，lim f(x) / g(x) 等于0，那么f(x)就是g(x)的高阶无穷小；如果极限为无穷大，那么f(x)就是g(x)的低阶无穷小；如果极限为K（K不等于0且不等于1），那么f(x)和g(x)就是同阶非等价；如果极限为1，那么f(x)和g(x)就是等价无穷小。两个重要极限 𐟧最后，我们来聊聊两个非常重要的极限。第一个极限是当x趋近于0时，lim x / sin x = 1。这个极限告诉我们，x和sin x在x趋近于0时的行为是非常相似的。第二个极限是当x趋近于0时，lim (1 + x) ^ (1 / x) = e。这个极限告诉我们，复利计算中的e值是如何来的。总结 𐟓 无穷小和无穷大是微分和极限计算中的两个核心概念。通过了解这些性质和极限，我们可以更好地理解和解决各种数学和实际问题。希望这篇文章能帮到你们，让你们对无穷小和无穷大有一个更清晰的认识！

教育心得分享：复盘与超越④ 最近在复习教育学的各种知识点，真是又爱又恨啊！𐟘… 来给大家分享一下我的复盘心得，希望能帮到同样在奋斗的你们。函数大小比较：T3 这个题目其实挺常规的，但我在做的时候太复杂化了。后来发现，考试的时候直接任取一个区间上的点代入，省时省力。抽象矩阵行列式计算：T6 这道题我错在了AB=O，r(A)+r(B)≤n，(AB)=4*3，n=4！其实应该根据关系式推出A的特征值，然后计算行列式。带参数无穷积分计算：T12 这个题目真是难到爆！我几乎没见过这种类型的题。后来发现有两种方法可以解决：方法一：变量代换(ex＝t)；倒代换(t＝1/u)。积分计算与积分字母无关，列出等式。方法二：三角换元：t＝tanu，切换弦(分子分母同乘cosu)；区间再现，消掉参数€‚ 方法三：利用ex和e-x互为倒数，令x＝-t；分子分母有理化，-t消为t。中心思想就是对积分作各种变换，最终消掉参数€‚ 抽象定积分求原函数：T14 这道题简直让我崩溃！技巧性太强了，做不出来。后来发现有两种方法：方法一：对f'进行分部积分不可取，因而对f进行分部。观察式子，凑完全平方，得出等式。方法二：观察式子，凑完全平方，得出等式。抽象函数求极限：T17 这道题我用无穷小的形式做错了，得出的是高阶无穷小是二阶的，分母是四阶的（不严谨）。后来发现有两种方法：方法一：用拉格朗日中值定理，凑导数定义。方法二：用洛必达法则（洛到一阶导数，二阶凑导数定义）。证明级数收敛性：T20 这道题有两个小问，第一问有连续导数，存在最大值，泰特展开，用绝对值放缩。第二问有两种方法：方法一：用第一问的结论。注意第一问是积分，内部求导才是f(x)，证明一阶连续即可。方法二：用等价无穷小。设内部～ax^p，用洛必达。求矩阵问题：T21 这道题我在考试的时候草稿纸没算完就写进答题卡了，写一半发现全部写错了，真是彻底疯狂！考试的时候一定要注意得出结果了再抄进答题卡！错因是主观臆想A的另一个特征值为2。其实应该设最后特征值为𜌦 𙦍𙥾向量正交，得出最后一个特征向量，用QTAQ＝对角阵（简法：谱分解A＝⧱⧱T+⧲⧲T+r⧳⧳T）。或者直接把A设出来，根据和B的关系+实对称矩阵的特征求解合个未知数。分段随机变量求期望：T22 这道题我转换成了联合概率密度求均值。其实也可以用其他方法解决，但这个方法对我来说比较直观。希望这些分享能帮到你们，大家一起加油吧！𐟒ꀀ

考不上了哥哥姐姐们感觉自己可能有点悬，今天408做伤心了，怎么忘那么多啊，都做过两遍了还是记不得，考100多分真不容易吧，真的伤透我了数学 22年高阶无穷小的概念不太会，听了b站某个老师的讲解通透了不少，多元微分那题的真出生，我左想右想都没想到要用第一问[泪][泪][泪]服辣！其他题没啥了政治做了这一道逆天题，真的无话可说，考试要能考这我直接吃今天晚上打饭，阿姨直接给我打了两份！！[泪]我感觉可能是我昨天也去吃了认出我来了？咖喱➕奥尔良，直接两份！我哭死，就是我的小肚肚有点大了[笑cry][允悲]考完研之后再说吧[酷] 讲真，华中师范我预感要炸，总预感要炸，预感南理爆冷…