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证明勾股定理权威发布_证明勾股定理的方法(2024年12月精准访谈)

内容来源：惠生活优选所属栏目：观点更新日期：2024-12-03

证明勾股定理

勾股定理第二课时：多种证法与作业订正 𐟓š 在这节课中，我们补充了两种证明勾股定理的方法。首先，我们提前画了两个图，并问学生如何证明。由于昨天已经讲解了等积法，第一个图学生很快就得出了结论。接着，学生提出构造赵爽弦图和毕达哥拉斯图，并问图中是否能直接找到a的平方、b的平方、c的平方。通过引导，学生发现了割补术的联系。 𐟖Œ️ 接下来，我们讲解了作业订正，也就是第三块黑板的第4题，介绍了直角三角形的两种常见处理方法。然后，让学生尝试做第二块黑板的例题，学生提出了两种方法，并感受了这两种方法之间的区别，体验了等积法的魅力。 ⏰ 由于时间关系，最后一题没讲完，拖堂了5分钟才完成。这也是昨天的作业，今天只有一节课，明天还有社会实践活动，所以必须订正。这节课虽然辛苦，但学生们表现出了极大的兴趣和热情。

𐟚𐠥‹𞨂᥮š理的趣味证明：注水法勾股定理在数学和科学领域有着广泛的应用，它指出直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。今天，我们将通过一个有趣的注水方法来证明这个定理。首先，让我们考虑一个直角三角形，其中直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。我们将注水器连接到直角边 a 和 b 上，使水从 a 点流入并从 b 点流出。随着水的注入，水面会沿着直角边 a 和 b 上升。当水到达 a 点时，注水器停止注水，因为 a 点是注水器的出口。此时，水的高度就是 a 点的高度。接下来，我们将注水器连接到斜边 c 上，使水从 c 点流入并从 a 点流出。随着水的注入，水面会沿着斜边 c 上升。当水到达 a 点时，注水器再次停止注水，因为 a 点是注水器的出口。此时，水的高度仍然是 a 点的高度。我们知道，水在 c 点的高度就是斜边 c 的长度。由于水的位置是 c 点的高度，因此 a 点的高度等于斜边 c 的长度。这意味着，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。通过这个简单的注水方法，我们可以直观地理解并证明勾股定理，使其变得更加生动有趣。

如何用高阶思维培养深度教学？ ### 理论知识 𐟓š 深度教学的路径：从低阶到高阶，强化“四基”，提升“四能”，同时重视五个方面——活动、合作、思维、感悟和质疑。深度教学的“深”体现在三个方面：人类文化遗产的传承、科学发现过程的体验、自觉意识和理性精神的培养，以及触及心灵深处的价值观锻造。教学案例：勾股定理的深度教学 𐟓– 引入：课前展示勾股树，介绍毕达哥拉斯的故事，探讨等腰直角三角形与正方形面积的关系。探究：教师带领学生探究直角边为整数时，三边关系（借用网格图），然后学生自主探究，类比上述做法，在网格图中任意选取整数直角边。教师提问：由斜边向外作正方形的顶点为什么一定在格点上？（培养创新能力、反思习惯）学生提问：边长不为整数时，不便于用格点图形和面积法，勾股定理还成立吗？教师借助几何画板验证演示，从而完善证明。教师提问：非直角三角形有没有类似的结论？（培养创新能力、反思习惯）利用网格图，举出反例即可。逻辑证明：验证猜想（不借用网格图），如“赵爽弦图”证法和欧几里得证法。运用：勾股树面积计算、分类求边、面积法求高、“赵爽弦图”运用等。课后延伸：了解“刘徽证法”等多种证法，以及不用面积法证明勾股定理的方法，如射影法。案例点评 𐟌Ÿ 文化：毕达哥拉斯的探究习惯的榜样作用和“赵爽弦图”的文化自信的德育功能都有一定程度的体现。教学重点：侧重定理的发现探究过程，注重逻辑的完整性，经历从特殊到一般（从等腰直角三角形到一般的直角三角形；借助网格到没有网格）的探究过程，有助于培养学生严谨的精神。思维培养：有低阶思维的培养（定理的理解与变式运用）；高阶思维的培养（逻辑完整的分析、综合和评价（质疑））。方法论：割补法。深度教学的特征 𐟌ˆ 深入理解：对数学概念、原理和方法的深入理解。深度思考：通过思考和探究，发现数学规律和本质。触及心灵：通过数学问题，引发对生活、自然和社会的思考。探究精神：勇于探索未知领域，追求真理的精神。科学精神：严谨的科学态度和方法，追求科学的真理。人文精神：数学与人文的结合，培养人文素养和价值观。思考题 𐟤” 看到文章中的梯子问题时，想起四年前的一道考研题：梯子靠在墙上，将其下端每次移出相同的距离，求上端每次下降的高度是越来越大还是越来越小？并证明。

欧氏几何中的经典问题与解法 𐟓œ 欧氏几何中的经典问题与解法 𐟔 在欧氏几何中，有许多经典的问题需要通过精心设计的证明来解决。以下是一些精选的问题和它们的解法： 𐟓– 问题：证明三角形内角和为180度。解法：通过作辅助线，将三角形分割成两个直角三角形，然后利用直角三角形的性质来证明。 𐟓 问题：证明勾股定理。解法：利用三角形的相似性和面积关系，通过构造相似三角形来证明勾股定理。 𐟔—˜：找出三角形外接圆的半径。解法：通过作三角形的三条垂直平分线，找到外接圆的圆心，然后计算半径。 𐟓 问题：证明三角形内角平分线定理。解法：利用角平分线的性质和三角形的相似性，通过构造相似三角形来证明。 𐟔 问题：找出三角形内心和外心的位置。解法：通过作三角形的三条角平分线和垂直平分线，找到内心和外心的位置。 𐟓 问题：证明正弦定理和余弦定理。解法：利用三角形的相似性和面积关系，通过构造相似三角形来证明正弦定理和余弦定理。 𐟔—˜：找出三角形的重心和垂心。解法：通过作三角形的三条中线和垂线，找到重心和垂心的位置。 𐟓 问题：证明平面几何中的一些基本性质，如平行线的性质、相似三角形的性质等。解法：利用已知的几何性质和定理，通过逻辑推理和几何作图来证明。这些问题只是欧氏几何中的冰山一角，还有许多其他有趣且富有挑战性的问题等待我们去探索和证明。通过这些问题的解决，我们可以更好地理解几何的本质和美感。

八年级数学勾股定理培优技巧全解析 𐟓š 第1章勾股定理（培优篇） 1.1 单选题 1. 图中不能证明勾股定理的是：A 2. 若ABC的三边长a、b、c满足aⲫbⲫcⲽ6a+8b+10c-50，那么△ABC是：B 3. 如图，在RtAABC中，以AC为直角边向外作RAACD，分别以AB，BC,CD,DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1,S2,S3,S4，已知S=3,S=1,S=7，则S为：D 4. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边：C 1.2 解答题 1. 如图,已知RtAABC和RtAADE中,B.AC=ZDAE=90ⰬAB=AC,AD=AE，点C在线段BE上，连接DC交AE于点O. (1)DC与BE有怎样的位置关系？证明你的结论； (2)若BC=7,CE=5,求DE的长。 2. 如图，在RtAABC中，BAC=90Ⱟ𜌤𛥒tAABC各边为斜边分别向外作等腰RIAADB、等腰RIVAFC、等腰RIABEC,将等腰RIAADB和等腰RIVAFC按如图方式叠放到等腰RtABEC中，已知S边形Cie=3,边形HC)=13,则AC长为：C 𐟓– 第2章实数（基础篇） 2.1 单选题 1. 以下选项中正确的是：A 2. 若a+b=5，ab=6，则aⲫbⲧš„值为：C 3. 已知x+y=7，xy=12，则xⲫyⲧš„值为：D 4. 若a+b+c=0，abc=1，则aⳫbⳫc⳧š„值为：B 2.2 解答题 1. 已知x+y=7，xy=12，求xⲫyⲧš„值。 2. 若a+b+c=0，abc=1，求aⳫbⳫc⳧š„值。 𐟖‹️ 第3章位置与坐标（基础篇） 3.1 单选题 1. 在平面直角坐标系中，点P(x,y)到原点O的距离为：A 2. 若点P(x,y)在第一象限，且x+y=6，xy=8，则点P的坐标为：B 3. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(-1,4)之间的距离为：C 4. 若点P(x,y)在第二象限，且x+y=6，xy=8，则点P的坐标为：D 3.2 解答题 1. 已知点A(2,3)和点B(-1,4)，求AB的距离。 2. 若点P(x,y)在第一象限，且x+y=6，xy=8，求点P的坐标。

勾股定理还能这样证明？高中生一连发现10种证明方法，陶哲轩点赞勾股定理还能这样证明？高中生一连发现10种证...来自@腾讯新闻你还会证明勾股定理吗？这两个女孩找出了十种证明新方法！

宜兴初二数学期中考试难度解析这次初二数学期中考试难度适中，没有特别复杂的辅助线题和分类讨论题，最值问题也不难。以下是详细解析：赵爽弦图与勾股定理 𐟓 题目要求借助“赵爽弦图”证明勾股定理。这个图形由四个完全相同的直角三角形拼成一个正方形。直角三角形的直角边长为a，斜边长为c。通过这个图形，可以轻松证明勾股定理：aⲠ+ bⲠ= cⲣ€‚ 零件形状判断 𐟛 ️ 题目给出一个零件的形状，要求判断是否符合要求。零件中2A和2C都应是直角。通过测量各边尺寸，发现这个零件不符合要求，因为某些角度不是直角。这次数学考试整体难度不高，但需要细心计算和准确理解题目要求。希望同学们能够认真总结，继续努力！

𐟓赵爽弦图勾股定理证明𐟓˜ 𐟎操作指南】 1️⃣ 开启几何画板，选择【编辑】→【参数选项】→【文本】，并标记中心点C。 2️⃣ 用绘制工具按住Shift键绘制水平线段，并旋转90Ⱓ€‚ 3️⃣ 在线段AB上任取一点D，连接BD，并标记DB向量。 4️⃣ 平移点B"到B"，连接BB'，并度量DB"的距离。 5️⃣ 向90Ⱖ–𙥐‘移动点A"DB"距离到A"，同理画出线段AA"。 6️⃣ 连接图形和线段，隐藏多余对象。 𐟎‰通过以上步骤，你可以轻松证明勾股定理！𐟎‰

几何画板辅助勾股定理证明勾股定理是初中数学中的重要内容，通过几何画板可以直观地展示其证明过程。以下是几种常见的证明方法： 𐟔 数方格法通过数方格来认识勾股定理。在几何画板中，可以画出正方形ACH、BCFG和ABED，并计算它们的面积。例如，正方形ACH的面积为22.26厘米ⲯ𜌦�–𙥽₃FG的面积为8.97厘米ⲯ𜌨€Œ正方形ABED的面积为31.22厘米ⲣ€‚通过这些计算，可以得出勾股定理的结论。 𐟎𕵧ˆ𝥼楛𞦳• 赵爽弦图是古代数学家赵爽为《周算经》作法时给出的。在几何画板中，可以画出赵爽弦图，并通过相割的方式显示证明过程。这种方法可以帮助学生更好地理解勾股定理的原理。 𐟓ˆ 梯形面积法（总统证法）通过梯形面积的计算来证明勾股定理。在几何画板中，可以画出梯形，并显示其面积的计算过程。这种方法直观且易于理解，适合在课堂上使用。 𐟌𒠥‹𞨂ᦠ‘与海螺图勾股树和海螺图是两种有趣的图形，可以通过几何画板动态演示。在勾股树中，选中参数t，按住“shift键”和“+”可以增加参数值，按“-”可以减少参数值。在海螺图中，同样可以通过调整参数来观察图形的变化。这些图形不仅美观，还能帮助学生更好地理解勾股定理。通过这些方法，学生可以在几何画板的辅助下更好地理解和掌握勾股定理。希望这些内容能为初中数学课堂提供一些参考和帮助。

赵爽弦图：勾股定理的古老证明在三国时期，吴国的数学家赵爽在他的著作《周髀算经》中提供了一个巧妙的证明方法，证明了勾股定理。这个证明方法是通过“勾股圆方图”来实现的，展示了数学与几何的完美结合。 𐟔 证明的核心思想是：大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上一个小正方形的面积。具体来说，假设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c，那么c^2 = a^2 + b^2。 𐟓 赵爽的证明方法是这样的：首先，将大正方形的面积表示为S = c^2。然后，将4个直角三角形的面积表示为4 㗠(1/2) 㗠a 㗠b = 2ab。最后，加上一个小正方形的面积(b - a)^2，得到S = c^2。 𐟎€š过这种方式，赵爽成功证明了勾股定理，即直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方之和。这个证明方法不仅简单明了，而且富有几何直观性，为后人提供了宝贵的数学启示。 𐟌Ÿ 赵爽的证明方法不仅展示了古代数学家的智慧，也为现代数学研究提供了宝贵的参考。通过他的工作，我们可以看到数学与几何之间的紧密联系，以及数学在古代文化中的重要地位。